Bismillah,
Yang benar adalah Silaturahim bukan silaturahmi sebagaimana disebutkan didalam nash-nash hadits tentangnya, diantaranya :

عَنْ أَبِى أَيُّوبَ الأَنْصَارِىِّ – رضى الله عنه أَنَّ رَجُلاً قَالَ يَا رَسُولَ اللَّهِ أَخْبِرْنِى بِعَمَلٍ يُدْخِلُنِى الْجَنَّةَ . فَقَالَ الْقَوْمُ مَالَهُ مَالَهُ فَقَالَ رَسُولُ اللَّهِ – صلى الله عليه وسلم – « أَرَبٌ مَالَهُ » . فَقَالَ النَّبِىُّ – صلى الله عليه وسلم – « تَعْبُدُ اللَّهَ لاَ تُشْرِكُ بِهِ شَيْئًا ، وَتُقِيمُ الصَّلاَةَ ، وَتُؤْتِى الزَّكَاةَ ، وَتَصِلُ الرَّحِمَ ، ذَرْهَا » . قَالَ كَأَنَّهُ كَانَ عَلَى رَاحِلَتِهِ .

Dari Abu Ayyub Al Anshari radliallahu ‘anhu bahwa seorang laki-laki berkata; “Wahai Rasulullah, beritahukanlah kepadaku suatu amalan yang dapat memasukkanku ke surga.” Orang-orang pun berkata; “Ada apa dengan orang ini, ada apa dengan orang ini.” Maka Rasulullah shallallahu ‘alaihi wasallam bersabda: “Biarkanlah urusan orang ini.” Lalu Nabi shallallahu ‘alaihi wasallam melanjutkan sabdanya: “Kamu beribadah kepada Allah dan tidak menyekutukannya, menegakkan shalat, dan membayar zakat serta menjalin tali silaturrahim.” Abu Ayyub berkata; “Ketika itu beliau berada di atas kendaraannya.” (HR. Bukhari)

 
عَنْ أَبِى هُرَيْرَةَ عَنِ النَّبِىِّ -صلى الله عليه وسلم- قَالَ « تَعَلَّمُوا مِنْ أَنْسَابِكُمْ مَا تَصِلُونَ بِهِ أَرْحَامَكُمْ فَإِنَّ صِلَةَ الرَّحِمِ مَحَبَّةٌ فِى الأَهْلِ مَثْرَاةٌ فِى الْمَالِ مَنْسَأَةٌ فِى الأَثَرِ ». قَالَ أَبُو عِيسَى هَذَا حَدِيثٌ غَرِيبٌ مِنْ هَذَا الْوَجْهِ. وَمَعْنَى قَوْلِهِ « مَنْسَأَةٌ فِى الأَثَرِ ». يَعْنِى زِيَادَةً فِى الْعُمُرِ.
 
Imam Tirmidzi meriwayatkan dari Abu Hurairah dari Nabi shallallahu ‘alaihi wasallam, beliau bersabda: “Belajarlah dari nasab kalian yang dapat membantu untuk silaturrahim karena silaturrahim itu dapat membawa kecintaan dalam keluarga dan memperbanyak harta, serta dapat memperpanjang umur.” Abu Isa berkata: Ini merupakan hadits gharib melalui jalur ini
 
Berkaitan dengan hal ini, para ulama hadits memberikan judul pada salah satu babnya didalam kitab-kitab haditsnya dengan silaturahim, seperti : Imam Bukhori didalam Shahihnya memberikan judul “Bab Silaturahim”, Muslim didalam Shahihnya dengan judul “Bab Silaturhim wa Tahrimi Qothiatiha”, Abu Daud didalam Sunannya dengan “Bab Silaturahim” dan Tirmidzi didalam Sunannya dengan “Bab Maa Ja’a Fii Silaturahim”
 
Sedangkan makna Rahim dengan memfathahkan huruf Ro dan mengkasrahkan Ha, sebagaimana dikatakan al Hafizh Ibnu Hajar didalam kitabnya “Fathul Bari” digunakan untuk kaum kerabat dan mereka adalah orang-orang yang diantara sesama mereka memiliki hubungan nasab, baik mewariskannya atau tidak, baik memiliki hubungan mahram atau tidak. Namun ada juga yang mengatakan : mereka adalah para mahram saja. Namun pendapat pertama lah yang tepat karena pendapat kedua mengharuskan dikeluarkannya (tidak termasuk didalamnya) anak-anak lelaki dari paman baik dari jalur bapak atau ibu dari kalangan dzawil arham, padahal bukanlah demikian. (Fathul Bari juz XVII hal 107)
 
CATATAN :
Silaturahmi dan silaturahim, jika merujuk pada bahasa Arab, mempunyai huruf penyusun yg sama. Yang membedakan adalah akhirannya yg otomatis akan mempengaruhi artinya.
 
Silah itu berarti menyambungkan. Sementara rahmi mempunyai arti rasa nyeri yg timbul (dan diderita sang ibu) pada saat melahirkan. Adapun rahim adalah kasih sayang sebagaimana Allah ta’ala memilki sifat Ar Rahim, Yang Maha Penyayang).
 
Dengan demikian, silaturahim = hubungan kasih sayang,
sedangkan silaturahmi = penghubung uterus (tali pusar yg menghubungkan ibu dan anak).
 
Semoga bermanfaat.